☆ Sphère circonscrite à un tétraèdre

L'espace est muni d'un repère orthonormé \(\left(\text O~;\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}\right)\) .

Soit \(\text A(0~;~1~;-2)\) ,  \(\text B(4~;~5~;-2)\) ,  \(\text C(4~;~1~;~0)\)  et  \(\text D(2~;~3~;~2)\)  quatre points.

1. Justifier que les quatre points ne sont pas coplanaires. Les quatre points forment donc un tétraèdre  \(\text A\text B\text C\text D\) .

2. Déterminer des  équations cartésiennes des plans médiateurs des segments  \([\text A\text B]\) ,  \([\text B\text C]\)  et  \([\text C\text D]\) .

3. Justifier que les trois plans médiateurs ont un seul point en commun qu'on notera \(\text G\)  et dont les coordonnées sont  \(\text G(2~;~3~;-1)\) .

4. Calculer les longueurs  \(\text G\text A\) ,  \(\text G\text B\) ,  \(\text G\text C\)  et  \(\text G\text D\) . Que déduit-on pour les quatre points \(\text A\) , \(\text B\) , \(\text C\) et \(\text D\) ?